时间序列也称动态序列，是指将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列。

时间序列分析大致可分成三大部分，分别是描述过去、分析规律和预测未来。

时间序列数据

组成要素：时间（年、季度、月份等）+数值
时间序列根据时间和数值性质的不同，可以分为时期时间序列和时点时间序列。
时期序列中，数值要素反映现象在一定时期内发展的结果 如中国2018-2019的GDP增长
时点序列中，数值要素反映现象在一定时点上的瞬间水平 如从出生到现在体重的增长
时期序列可以相加 时点序列不行

时间序列分析

graph LR
A(时间序列分析)-->B(描述过去:描述时间序列的动态变化)
A(时间序列分析)-->C(分析规律:揭示数值背后的变化规律)
A(时间序列分析)-->D(预测未来:根据规律预测未来趋势)

步骤

  • 作时间序列图
  • 判断时间序列包含的变动成分
  • 时间序列分解（有周期性且包含长期趋势、季节变动或循环变动）
  • 建立时间序列分析模型
  • 预测未来的指标数值

时间序列分解

一般情况下，时间序列的数值变化规律有：

  1. 长期变动趋势T
  2. 季节变动趋势S （月份、季节、周都可以为单位 不能以年为单位）
  3. 循环变动趋势C
  4. 不规则变动I（随机扰动项）

一个时间序列往往是以上四类变化形式的叠加。
如果四种变动相互独立，那么叠加模型为$$Y=T+S+C+I$$
如果四种变动相互影响，那么乘积模型为$$Y=TSC*I$$

注：（1）数据具有年内的周期性时才能使用时间序列分解，例如数据是月份数据(周期为12)、季度数据(周期为4) ，如果是年份数据则不行。
（2）在具体的时间序列图上，如果随着时间的推移，序列的季节波动变得越来越大，则反映各种变动之间的关系发生变化，建议使用乘积模型；
反之，如果时间序列图的波动保持恒定，则可以直接使用叠加模型；当然，如果不存在季节波动，则两种分解均可以。

SPSS处理时间序列中的缺失值

缺失值如果在收尾直接删除 如果在中间就用SPSS处理

操作：转换——替换缺失值——选择方法

方法：

  1. 序列平均值 用整个序列的平均数代替缺失值
  2. 临近点的平均值 用相邻若干个点的平均数来替换缺失值（默认为两个点）
  3. 临近点的中位数 用相邻若干个点的中位数来替换缺失值（默认为两个点）
  4. 线性插值 用相邻两个点的平均数来替换缺失值
  5. 邻近点的线性趋势 将时期数作为x，时间序列值作为y进行回归，求缺失点的预测值

SPSS定义时间变量

操作：数据——定义日期和时间——选择并设置起始时间

SPSS做时间序列图

操作：分析——时间序列预测——序列图
作图都需要有解释性文字

季节性分解

操作：分析——时间序列预测——季节性分解——根据分析选择乘法/加法——移动平均值权重需要根据周期的奇偶性选择
（奇数选择所有点相等 偶数选择端点按0.5加权）
ERR:I SAS:T+C+I SAF:S STC:T+C

解读季节因子

加法分解：
所有季节因子和为0
以按季度分的销售水平为例子
若第一季度第二季度季节因子为正，说明该产品第一季度平均销量要高于第三季度第四季度，且第一季度的平均销量要高于全年平均水平的（季节因子）件

乘法分解：
所有季节因子乘积为1
若第一季度第二季度季节因子大于1，说明该产品第一季度平均销量要高于第三季度第四季度，且第一季度的平均销量要是全年平均水平的（季节因子）倍

画出分解后的时序图

操作：分析——时间序列预测——序列图——把刚刚分解的变量都加进去

时间序列分析模型

指数平滑模型

simple模型

适用条件：不含趋势和季节成分 约等于ARIMA(0,1,1)

概念
SPSS会自动选好平滑系数。

弊端：只能预测一期 因为在计算第二个时xt+1=x^t+1x_{t+1}=\hat{x}_{t+1}，代入公式会得到x^t+2=x^t+1\hat{x}_{t+2}=\hat{x}_{t+1}，因此只能预测一期的值

线性趋势模型

适用条件：不含季节成分、线性趋势

在这里插入图片描述

论文里要把各个公式写出来

阻尼趋势模型

适用条件：不含季节成分、线性趋势逐渐减弱

在这里插入图片描述

简单季节模型

适用条件：稳定的含季节成分、不含趋势

在这里插入图片描述

温特加法模型

适用条件：含有线性趋势和稳定的季节成分

在这里插入图片描述

温特乘法模型

适用条件：含有线性趋势和不稳定的季节成分

在这里插入图片描述

一元时间序列分析的模型

时间序列的平稳性

若时间序列{xt}\left\{x_t\right\}满足以下三个条件，则{xt}\{x_{t}\}为协方差平稳，又称弱平稳：
(1) E(xt)=E(xt−s)=uE\left(x_t\right)=E\left(x_{t-s}\right)=u (均值为固定常数)
(2) Var⁡(xt)=Var⁡(xt−s)=σ2\operatorname{Var}\left(x_t\right)=\operatorname{Var}\left(x_{t-s}\right)=\sigma^2 (方差存在且为常数 即不存在异方差)
(3) Cov⁡(xt,xt−s)=γs\operatorname{Cov}\left(x_t, x_{t-s}\right)=\gamma_s (协方差只和间隔 ss 有关, 与 tt 无关 ))

若时间序列 {xt}\left\{x_t\right\} 满足以下三个条件:
(1) E(xt)=E(xt−s)=0E\left(x_t\right)=E\left(x_{t-s}\right)=0
(2) Var⁡(xt)=Var⁡(xt−s)=σ2\operatorname{Var}\left(x_t\right)=\operatorname{Var}\left(x_{t-s}\right)=\sigma^2 (方差存在且为常数)
(3) Cov⁡(xt,xt−s)=0(s≠0)\operatorname{Cov}\left(x_t, x_{t-s}\right)=0(s \neq 0)
则称 {xt}\left\{x_t\right\} 为白噪声序列(white noise)。白噪声序列是平稳时间序列的一个特例。

差分方程

将某个时间序列变量表示为该变量的滞后项、时间和其他变量的函数, 这样的一个函数方程被称为差分方程。

yt=α0+α1yt−1+α2yt−2+⋯+αpyt−p+εt （自回归AR (p) 模型） yt=εt+β1εt−1+β2εt−2+⋯+βqεt−q （移动平均MA (q) 模型） yt=α0+∑i=1pαiyt−i+εt+∑i=1qβiεt−i （自回归移动平均ARMA (p,q) 模型） yt=a+byt−1+czt+dzt−1+εtyt=a+byt−1+ct+εt\begin{aligned} & y_t=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}+\alpha_2 y_{t-2}+\cdots+\alpha_p y_{t-p}+\varepsilon_t \quad \text { （自回归AR }(p) \text { 模型） } \\ & y_t=\varepsilon_t+\beta_1 \varepsilon_{t-1}+\beta_2 \varepsilon_{t-2}+\cdots+\beta_q \varepsilon_{t-q} \quad \text { （移动平均MA }(q) \text { 模型） } \\ & y_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^p \alpha_i y_{t-i}+\varepsilon_t+\sum_{i=1}^q \beta_i \varepsilon_{t-i} \quad \text { （自回归移动平均ARMA }(p, q) \text { 模型） } \\ & y_t=a+b y_{t-1}+c z_t+d z_{t-1}+\varepsilon_t \\ & y_t=a+b y_{t-1}+c t+\varepsilon_t\\ \end{aligned}

差分方程的齐次部分：只包含该变量自身和它的滞后项的式子。

yt=α0+∑i=1pαiyt−i+εt+∑i=1qβiεt−i （ARMA (p,q) 模型） y_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^p \alpha_i y_{t-i}+\varepsilon_t+\sum_{i=1}^q \beta_i \varepsilon_{t-i} \quad \text { （ARMA }(p, q) \text { 模型） }

齐次部分: yt=∑i=1pαiyt−iy_t=\sum_{i=1}^p \alpha_i y_{t-i}
将齐次部分转换为特征方程(代数方程): 令 yt=xty_t=x^t 后带入齐次方程化简 $$xt=\sum_{i=1}p \alpha_i x^{t-i} \Rightarrow x^p=\alpha_1 x^{p-1}+\alpha_2 x^{p-2}+\cdots+\alpha_p$$(同时除以 xt−px^{t-p} 即可)
特征方程是一个 pp 阶多项式, 对应可求出 pp 个解 (可能有实根, 也可能有虚根)
这 pp 个解的模长 (实根取绝对值, 虚根取模) 的大小决定了形为ARMA (p,q)(p, q) 模型的 {yt}\left\{y_t\right\} 是否平稳。

滞后算子:Liyt=yt−iL^{i}y_t=y_{t-i} 满足结合律、分配律

ARMA⁡(p,q)\operatorname{ARMA}(p, q) 模型:

yt=α0+∑i=1pαiyt−i+εt+∑i=1qβiεt−i⇒yt=α0+∑i=1pαiLiyt+εt+∑i=1qβiLiεt⇒(1−∑i=1pαiLi)yt=α0+(1+∑i=1qβiLi)εt⇒(1−α1L−⋯−αpLp)yt=α0+(1+β1L+⋯+βqLq)εt\begin{aligned} & y_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^p \alpha_i y_{t-i}+\varepsilon_t+\sum_{i=1}^q \beta_i \varepsilon_{t-i} \\ & \Rightarrow y_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^p \alpha_i L^i y_t+\varepsilon_t+\sum_{i=1}^q \beta_i L^i \varepsilon_t \\ & \Rightarrow\left(1-\sum_{i=1}^p \alpha_i L^i\right) y_t=\alpha_0+\left(1+\sum_{i=1}^q \beta_i L^i\right) \varepsilon_t \\ & \Rightarrow\left(1-\alpha_1 L-\cdots-\alpha_p L^p\right) y_t=\alpha_0+\left(1+\beta_1 L+\cdots+\beta_q L^q\right) \varepsilon_t \\ & \end{aligned}

运用差分将不平稳数据变成平稳数据
一阶差分：

Δyt=yt−yt−1=(1−L)yt\Delta y_t=y_t-y_{t-1}=(1-L) y_t

二阶差分:

Δ2yt=Δ(Δyt)=Δ(yt−yt−1)=(yt−yt−1)−(yt−1−yt−2)=yt−2yt−1+yt−2=(1−2L+L2)yt=(1−L)2yt\begin{aligned} \Delta^2 y_t & =\Delta\left(\Delta y_t\right)=\Delta\left(y_t-y_{t-1}\right) \\ & =\left(y_t-y_{t-1}\right)-\left(y_{t-1}-y_{t-2}\right) \\ & =y_t-2 y_{t-1}+y_{t-2} \\ & =\left(1-2 L+L^2\right) y_t \\ & =(1-L)^2 y_t \end{aligned}

dd 阶差分:

Δdyt=(1−L)dyt\Delta^d y_t=(1-L)^d y_t

季节差分 ( m(~ m 为周期 )) :

Δyt−Δyt−m=(yt−yt−1)−(yt−m−yt−m−1)=(1−L−Lm+Lm+1)yt=(1−L)(1−Lm)yt\begin{aligned} \Delta y_t-\Delta y_{t-m} & =\left(y_t-y_{t-1}\right)-\left(y_{t-m}-y_{t-m-1}\right) \\ & =\left(1-L-L^m+L^{m+1}\right) y_t \\ & =(1-L)\left(1-L^m\right) y_t \end{aligned}

应用

思考步骤（不写在论文里）

1. 处理缺失值 生成时间变量并画出时间序列图
2. 数据是否为季度数据/月份数据（至少有两年）如果是 要看是否存在季节性波动
3. 根据时间序列图判断是否为平稳序列（数据围绕均值上下波动且无趋势和季节性）
4. SPSS：分析——时间序列预测——创建传统模型
5. 如果是ARIMA(p,0,q)，可以画出时间序列样本ACF和PACF图形进行分析，如果结果与季节性相关，可以考虑使用时间序列分解

SPSS时间序列建模器

变量:选择方法专家建模器——条件里面离群值全部勾选上（为了处理异常值）
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

白噪声残差检验:
Q检验得到的p值大于0.05，说明无法拒绝原假设，即为白噪声(也可以用ACF与PACF图形说明)